Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．

（1）求证：∠ABE=∠CAD；

（2）求BP和AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）7

【解析】

（1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可得出结论；

（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．

解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形

∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°

在△ABE和△CAD中

∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD

（2）在△ABP中，∠BPQ=∠ABP＋∠BAP

∵∠ABP=∠CAD

∴∠BPQ=∠ABP＋∠BAP=∠CAD＋∠BAP=∠BAC=60°

∵BQ⊥AD，PQ=3，PE=1．

∴在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，则∠PBQ=30°.

∴BP=2PQ=6

∴BE=BP＋PE=7.

由（1）△ABE≌△CAD，

∴AD=BE=7.