Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2x﹣3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2 ． 设d=d1+d2 ， 下列结论中： ①d没有最大值；
②d没有最小值；
③﹣1＜x＜3时，d随x的增大而增大；
④满足d=5的点P有四个．
其中正确结论的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令二次函数y=x2﹣2x﹣3中y=0，即x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

（i）当x≤﹣1时，d1=x2﹣2x﹣3，d2=﹣x，

d=d1+d2=x2﹣3x﹣3= ，

d≥1；

（ii）当﹣1＜x≤0时，d1=﹣x2+2x+3，d2=﹣x，

d=﹣x2+x+3=﹣ ，

1＜x≤3；

（iii）当0＜x≤3时，d1=﹣x2+2x+3，d2=x，

d=﹣x2+3x+3=﹣ + ，

3≤x≤ ；

（iv）当3＜x时，d1=x2﹣2x﹣3，d2=x，

d=d1+d2=x2﹣x﹣3= ，

3＜d．

综上可知：d有最小值，没有最大值，即①成立，②不成立；

当0＜x≤ 时，d随x的增大而增大， ＜x≤3时，d随x的增大而减小，

∴﹣1＜x＜3时，d随x的增大而增大，结论③不成立；

令d=5，（i）中存在一个解；（ii）中无解；（iii）中有两个解；（iv）中一个解．

∴满足d=5的点P有四个，结论④成立．

∴正确的结论有2个．

故选B．

【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．