Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，

∴ ，

解得： ，

∴y= x2﹣ x+3；

∴点C的坐标为：（0，3）

（2）

解：假设存在，分两种情况：

①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°，

如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，设D为y轴上的点，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A点坐标为（3，0），

∴D点的坐标为：（0，3），

∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y= x2﹣ x+3=﹣x+3，

∴x2﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3，y=0（不合题意舍去），

∴P点坐标为（0，3），

∴点P、C、D重合，

②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，

如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，

由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），

∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y= x2﹣ x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4（舍），

∴y=6，

∴P点坐标为（﹣1，6），

∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）；

（3）

解：如图3：作EM⊥AO于M，

∵直线AC的解析式为：y=﹣x+3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵S△FEO= OE×OF，

OE最小时S△FEO最小，

∵OE⊥AC时OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直线CA上，

∴E点坐标为（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：x= ，

∴E点坐标为（ ， ）．

【解析】（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．