Question

【题目】定义：有一组对角互补的凸四边形叫做“对补四边形”，性质：“对补四边形”一定是圆内接四边形．
（1）概念理解：请你根据上述描述定义举一个“对补四边形”的例子；
（2）问题探究：如图1，在对补四边形ABCD中，如果∠A=∠C，试探究AB、AD、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：如图2，在四边形ABCD中，AB≠BC，∠A=∠C=90°，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BFD．

①连接AF，四边形ABDF是对补四边形吗？请说明理由；
②若AB=1，BD=2，且BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1：2，请求出CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：矩形是“对补四边形”

（2）解：AB2+AD2=BC2+CD2；理由如下：

连接BD，如图1所示：

∵四边形ABCD是“对补四边形”，

∴∠A=+∠C=90°，

∵∠A=∠C，

∴∠A=∠C=90°，

∴AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，

∴AB2+AD2=BC2+CD2

（3）解：①四边形ABDF是对补四边形，理由如下：

∵∠BAD=∠C=90°，

∴∠BAD+∠C=180°，

∴A、B、C、D四点共圆，

由折叠的性质得：∠BFD=∠BAD=90°，

∴点F在A、B、C、D四点共圆的这个圆上，

∴∠BAF+∠BDF=180°，

∴四边形ABDF是对补四边形；

②∵AB=1，BD=2，∠BAD=90°，

∴sin∠ADB= = ，AD= = ，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABD=60°，

设AD与BF交于点P，作PM⊥BD于M，如图2所示：

∵BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1：2，

∴AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，

，当AP：PD=1：2时，AP= AD= ，PD= AD= ，

∴∠ADB=30°，

∴PM= PD= =PA，

∴∠ABP=∠DBP= ∠ABD=30°，

∵∠BFD=90°，

∴DF= BD=1，

∴CD=DF=1；

当PD：AP=1：2时，PD= AD= ，AP= AD= ，

∴BP= = ，

∵∠BAD=∠BFD=90°，∠APB=∠FPD，

∴△ABP∽△FDP，

∴ ，即 ，

解得：FD= ，

∴CD=FD= ；

综上所述：CD的长为1或 ．

【解析】（1）由矩形的性质容易得出矩形是“对补四边形”

（2）连接BD，由“对补四边形”的定义得出∠A=+∠C=90°，由已知得出∠A=∠C=90°，由勾股定理得出AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，即可得出结论；

（3）①证明A、B、C、D四点共圆，由折叠的性质得：∠BFD=∠BAD=90°，证出点F在A、B、C、D四点共圆的这个圆上，由圆内接四边形的性质得出∠BAF+∠BDF=180°，即可得出结论；②由三角函数得出sin∠ADB= = ，由勾股定理求出AD= = ，得出∠ADB=30°，由直角三角形的性质得出∠ABD=60°，设AD与BF交于点P，作PM⊥BD于M，由已知得出AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，分别求出DF的长，即可得出CD的长．

【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的应用(测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解)．