Question

【题目】定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．
如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”．

（1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；
A ， B ， C ， CD=；
（2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．
①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；
②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式；
（3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE=S△CDF ， 若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC=60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣1，0）；（3，0）；（0， ）；3+
（2）解：①如图2，NC⊥CM，可求得N（﹣3，0），

∴经过点C的“蛋圆”切线的解析式为： ，

②过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣3，

由 ，

得：x2﹣（2+k）x=0，

∵直线与抛物线只有一个交点，

∴k=﹣2，

∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y=﹣2x﹣3

（3）解：如图3，∵经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y=﹣2x﹣3，

∴E点坐标为（ ，0），

∵S△CDE=S△CDF，

∴F点的横坐标为 ，

在Rt△MQF1中可求得F′Q= ，

把x= 代入y=x2﹣2x﹣3，可求得y= ．

∴F′（ ， ），F′′（ ， ）

（4）解：如图4，∵∠BPC=60°保持不变，

因此点P在一圆弧上运动．

此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°），BK为半径．

当BP为直径时，BP最大．

在Rt△PCR中可求得PR=1，RC= ．

所以点P的坐标为（1，2 ）．

【解析】解：（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
当x=0时，y=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），OD=3，
如图1，连接MC，由题意得，OM=1，MC=2，
∴OC= = ，
∴C（0， ），CD=3+ ，
所以答案是：（﹣1，0）；（3，0）；（0， ）；3+ ；