Question

【题目】如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG．

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；

（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3 ．
①求BE的长；②求点A到BE的距离；

（3）当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，

又∵四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG．

在△ABE与△ADG中，

∵ ，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG

（2）

解：①如图1，作BN⊥AE于点N，

∵∠BAN=45°，AB=2，

∴AN=BN= ．

在△BEN中，

∵BN= ，NE=3 ﹣ ，

∴BE= ；

②如图1，作AM⊥BE于点M，则S△ABE= AEBN= ×3 × = ．

又∵S△ABE= BEAM= × ×AM= ，

∴AM= ，即点A到BE的距离

（3）

解：解：①如图2，连接AC，AF，CF，

∵四边形ABCD与AEFG是正方形，

∴∠ACD=∠AFE=45°，

∵∠DCE=90°

∴点A，C，E，F四点共圆，

∵∠AEF是直角，

∴AF是直径，

∴∠ACF=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠FCD=45°

②如图3，连接AC，AF，FG，CG

由（1）知∵△ABE≌△ADG，

∴∠ABE=∠ADG=90°，

∴DG和CG在同一条直线上，

∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，

∵四边形ABCD与AEFG是正方形，

∴∠BAC=∠FAG=45°，

∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，

∴∠AGD+∠GAC=45°，

∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，

∴点A，C，G，F四点共圆，

∵∠AGF是直角，

∴AF是直径，

∴∠ACF=90°，

∴∠FCD=90°+45°=135°

综上所述，∠FCD的度数为45°或135°．

【解析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根据余角的性质，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①作BN⊥AE于点N，根据勾股定理得出AN=BN= ，在△BEN中，根据勾股定理即可得出结论；②作AM⊥BE于点M，根据S△ABE= AEBN= BEAM=3即可得出结论；（3）分两种情况：①E在BC的右边，连接AC，AF，CF，利用点A，C，E，F四点共圆求解，②E在BC的左边，连接AC，AF，FG，CG，首先确定DG和CG在同一条直线上，再利用点A，C，G，F四点共圆求解．
【考点精析】关于本题考查的旋转的性质，需要了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能得出正确答案．