Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“湘一四边形”．

（1）已知：如图1，四边形是“湘一四边形”，，，．则 ， ，若，，则 （直接写答案）

（2）已知：在“湘一四边形”中，，，，．求对角线的长（请画图求解），

（3）如图（2）所示，在四边形中，若，当时，此时四边形是否是“湘一四边形”，若是，请说明理由：若不是，请进一步判断它的形状，并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）85°，115°，3；（2）AC的长为或；（3）四边形ABCD不是“湘一四边形”，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析

【解析】

（1）连接BD，根据“湘一四边形”的定义求出∠B，∠C，利用等腰三角形的判定和性质证明BC=DC即可．
（2）分两种情形：①如图1-1，∠B=∠D=90°时，延长AD，BC交于点E．②如图2-1中，∠A=∠C=60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，分别求解即可解决问题．
（3）结论：四边形ABCD不是“湘一四边形”，四边形ABCD是平行四边形．如图2中，作CN⊥AD于N，AM⊥CB于M．利用全等三角形的性质证明AD=BC即可解决问题．

解：（1）如图1中，连接BD．

∵四边形ABCD是湘一四边形，∠A≠∠C，
∴∠B=∠D=85°，
∵∠A=75°，
∴∠C=360°-75°-2×85°=115°，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=CD=3，
故答案为85°，115°，3．
（2）①如图1-1，∠B=∠D=90°时，延长AD，BC交于点E，

∵∠DAB=60°，
∴∠E=30°，
又∵AB=4，AD=3
∴BE=4，AE=8，DE=5，
∴CE= ，
∴BC=BE-CE=4 ，
∴AC= ，
②如图2-1中，∠A=∠C=60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，

∵∠DAB=∠BCD=60°，
又∵AB=4，AD=3，
∴AE=，DE=BF= ，
∴BE=DF=，
∴CF=DFtan30°=× ，
∴BC=CF+BF= ，
∴AC= ，
综合以上可得AC的长为或．
（3）结论：四边形ABCD不是“湘一四边形”，四边形ABCD是平行四边形．
理由：如图2中，作CN⊥AD于N，AM⊥CB于M．

∵∠ADB=∠ABC，
∴∠CDN=∠ABM，
∵∠N=∠M=90°，CD=AB，
∴△CDN≌△ABM（AAS），
∴CN=AM，DN=BM，
∵AC=CA，CN=AM，
∴Rt△ACN≌Rt△CAM（HL），
∴AN=CM，∵DN=BM，
∴AD=BC，∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．