Question

【题目】如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．

（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由．

（2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．

请通过自己操作研究，并根据上诉结论，总结“活三角形”的其他特征．

（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）

，该三角形是一个“活三角形”．

，该三角形是一个“活三角形”．

（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为： 度．（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）有一个内角是另一个内角2倍时；有一个内角为直角时；（3）90°，108°，36°，

【解析】

（1）证明△ADC和△ABD为等腰三角形即可；

（2）作∠CAD=∠C，则∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”；由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易证直角三角形为“活三角形”；

（3）分四种情况讨论，根据三角形内角和为180°建立方程，解方程求出顶角即可．

解：（1）∵∠DAC =∠C，

∴∠ADB=2∠C，△ADC为等腰三角形，

又∵∠BAC=3∠C，

∴∠BAD=2∠C=∠ADB，

∴△ABD为等腰三角形，

∴AD是△ABC的“生命线”；

（2）∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”，

即：有一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”；

当∠BAC=90°，AD为斜边BC的中线，则△ABC为“活三角形”，

即：有一个内角为直角时，该三角形是一个“活三角形”，

故答案为：有一个内角是另一个内角的2倍时；有一个内角为直角时

（3）①由（2）可知，直角三角形为“活三角形”，故等腰直角三角形也为“活三角形”，即顶角为90°；

②如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，

则有，

解得：，

顶角∠BAC=108°；

③如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，

则有，。，

解得：，

顶角∠BAC=36°；

④如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，

则，

解得：，

即顶角∠BAC=，

综上：顶角为90°，108°，36°，．