Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O为圆心，OB长为半径的圆与BC交于点D，DE⊥AC于E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AC与⊙O相切于F，AB＝5，sinA＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接OD，由OB=OD，AB=AC，可得到∠ODB=∠C，即OD∥AC，而DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，从而得到DE是⊙O的切线．

（2）根据切线的性质定理,连接过切点的半径,运用锐角三角函数的定义,用半径表示OA的长,再根据AB的长列方程求解.

(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，(2分)∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．

(2)解：连接OF，则OF⊥AC.∵在Rt△OAF中，sinA＝＝，∴OA＝OF.又∵AB＝OA＋OB＝5，∴OF＋OF＝5，∴OF＝，∴⊙O的半径为.