Question

【题目】定义：有三个内角相等凸四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C＜90°，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？（作图解答）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠A=∠B=∠C，

∴3∠A+∠ADC=360°，

∴∠ADC=360°﹣3∠A．

∵0＜∠ADC＜180°，

∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，

∴60°＜∠A＜120°；

（2）

解：证明：∵四边形DEBF为平行四边形，

∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．

∵DE=DA，DF=DC，

∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，

∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，

∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，

∴四边形ABCD是三等角四边形

（3）

解：①当60°＜∠A＜90°时，如图1，

过点D作DF//AB，DE//BC，

∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴EB=DF，DE=FB，

∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，

设AD=x，AB=y，

∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，

∵△DAE∽△DCF，

∴ = ，

∴ = ，

∴y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣2）2+5，

∴当x=2时，y的最大值是5，

即：当AD=2时，AB的最大值为5，

②当∠A=90°时，三等角四边形是正方形，

∴AD=AB=CD=4，

③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，

过点D作DE//BC，∠DCB=∠CBA，

∴四边形BCDE是等腰梯形，

∴CD=EB=4，

∵AE=4﹣AB＞0，

∴AB＜4，

综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5

【解析】（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠A的范围；（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．