Question

【题目】已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴交于A、B两点，若m＞1，且点A在点B的左侧，OA：OB=1：3

（1）试确定抛物线的解析式；

（2）直线y=kx﹣3与抛物线交于M、N两点，若△AMN的内心在x轴上，求k的值．

（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+b与新图象只有一个公共点P（x0，y0）且y0≤7时，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1．

（2）k=﹣3或；

（3）当﹣1＜b≤7或b＜﹣时直线y=x+b与新图象只有一个公共点．

【解析】试题分析：（1）设A（﹣a，0），B（3a，0），根据根与系数关系可得解方程组即可解决问题．

（2）设M（m，km﹣3），N（n，kn﹣3），显然m、n是方程：x2﹣（k+）x+2=0的两根，得到m+n=3k+2，mn=6，再根据直线AM，直线AN两直线与x轴夹角相等，

即tan∠MAB=tan∠NAB，列出方程，整体代入即可求出k的值．

（3）直线y=x+b与新图象只有一个公共点P（x0，y0）且y0≤7，所以b0≤7，又当直线y=x+b经过点C（0，﹣1）时，b=﹣1，所以当﹣1＜b≤7时，直线y=x+b与新图象只有一个公共点，由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0，当直线y=x+b与新图象只有一个公共点时，方程只有相等的实数根，根据△=0，列出方程求出b，由此即可解决问题．

试题解析：（1）∵OA：OB=1：3，

∴可以假设A（﹣a，0），B（3a，0），

则有消去a得到3m2﹣16m+16=0，解得m=或4（不合题意舍弃），

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1．

（2）设M（m，km﹣3），N（n，kn﹣3），

∵点M、N在抛物线上，则M（m，m2﹣m﹣1），N（n，n2﹣n﹣1），

∴km﹣3=m2﹣m﹣1，kn﹣3=n2﹣n﹣1，

显然m、n是方程：x2﹣（k+）x+2=0的两根，

则m+n=3k+2，mn=6，

∵△CMN的内心在y轴上，A（﹣1，0），B（3，0），

∴直线AM，直线AN两直线与x轴夹角相等，

∴tan∠MAB=tan∠NAB

∴，

整理得到，2kmn+K（m+n）﹣3（m+n）﹣6=0，

∴12k+k（3k+2）﹣3（3k+2）=0，

解得k=﹣3或．

（3）∵直线y=x+b与新图象只有一个公共点P（x0，y0）且y0≤7，

∴b0≤7，

当直线y=x+b经过点C（0，﹣1）时，b=﹣1，

∴当﹣1＜b≤7时，直线y=x+b与新图象只有一个公共点，

由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0，

当直线y=x+b与新图象只有一个公共点时，方程只有相等的实数根，△=0，

∴9+12+12b=0，

∴b=﹣．

∴当b＜﹣时，当直线y=x+b与新图象只有一个公共点，

综上所述，当﹣1＜b≤7或b＜﹣时直线y=x+b与新图象只有一个公共点．