Question

【题目】如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3 ， …．

例如：当α=30°时，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；
当α=20°时，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4 ， OA3的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．


（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2 ， OA3 ， 其中∠A3OA2的度数是 ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3 ， 在如图5中画出OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4并求出α的值
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是
（4）当OAi所在的射线是∠AiOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如图所示

∵α＜30°，

∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．

∵OA4平分∠A2OA3，

∴2（180°﹣6α）+=4α，解得：．

（3）
（4）

解：对于角α=120°不能停止．理由如下：

无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会停止．

但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线这种情况，旋转不会停止．

【解析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；
（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OAi是∠AiOAK是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会中止．