Question

【题目】如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．

（1）当∠APB=28°时，求∠B和 的度数；
（2）求证：AC=AB．
（3）在点P的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；
②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如图1，连接MD，

∵MD为△PAB的中位线，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴ =2∠MDB=56°；

（2）

证明：∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB；

（3）

解：①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，

∵MD是Rt△MBP的中线，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，

∴12+MR2=22+PR2，

∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，

∴PR= ，

∴MR= ，

Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，

∴Q与R重合，

∴MQ=MR= ；

Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，

在Rt△QCP中，PQ=2PR= ，

∴MQ= ；

Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，

∵BM=1，MP=4，

∴BP= ，

∴DP= BP= ，

∵cos∠MPB= = ，

∴PQ= ，

∴MQ= ；

Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，

由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ= ；

综上所述，MQ的值为 或 或 ；

②△ACG和△DEG的面积之比为 ．

理由：如图6，∵DM∥AF，

∴DF=AM=DE=1，

又由对称性可得GE=GD，

∴△DEG是等边三角形，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DEF=75°=∠MDE，

∴∠GDM=75°﹣60°=15°，

∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，

∴GMD=∠GDM，

∴GM=GD=1，

过C作CH⊥AB于H，

由∠BAC=30°可得CH= AC= AB=1=MG，AH= ，

∴CG=MH= ﹣1，

∴S△ACG= CG×CH= ，

∵S△DEG= ，

∴S△ACG：S△DEG= ．

【解析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到 =2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 ， 即可得到PR= ，MR= ，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为 或 或 ；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH= AC=1=MG，即可得到CG=MH= ﹣1，进而得出S△ACG= CG×CH= ，再根据S△DEG= ，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．