Question

【题目】根据问题填空：
（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；

（2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN= ，试求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）NC∥AB
（2）解：∠ABC=∠ACN，理由如下：

∵ =1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN

∴ ，

∵AB=BC，

∴∠BAC= （180°﹣∠ABC），

∵AM=MN

∴∠MAN= （180°﹣∠AMN），

∵∠ABC=∠AMN，

∴∠BAC=∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC=∠ACN；

（3）解：如图3，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵ = ，

∴ ，

∴△ABM～△ACN

∴ ，

∴ =cos45°= ，

∴ = ，

∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，

在Rt△AMC，

AM= = =2 ，

∴EF=AM=2 ．

【解析】解：（1）NC∥AB，理由如下：

∵△ABC与△MN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM与△ACN中， ，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠B=∠ACN=60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，

∴CN∥AB；

所以答案是：CN∥AB；

【考点精析】掌握全等三角形的性质和相似三角形的性质是解答本题的根本，需要知道全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．