Question

【题目】长方形为平面直角坐标系的原点，点在第三象限．

（1）如图1，若过点的直线与长方形的边交于点且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标；

（2）如图2，为轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点在点运动的过程中，的值是否变化？若不变求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点P的坐标为（-3，0）或（0，-）；（2） ．

【解析】

（1）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；
（2）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠AMC-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠BMC-2∠EMC=2∠D，得出答案．

（1）如图1，若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP=×OA×OC，

即×3×AP=×5×3，
∴AP=2
∵OA=5，
∴OP=3，
∴P（-3，0），
若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC=×OA×OC，
即×5×PC=×5×3，
∴PC=
∵OC=3，
∴OP=，
∴P（0，-）．
综上所述，点P的坐标为（-3，0）或（0，-）．
（2）如图2，延长BC至点F，
∵四边形OABC为长方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB．
过点M作ME∥CD交BC于点E，
∴∠EMC=∠MCD．
又∵CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC．
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠AMC-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠BMC-2∠EMC=2∠D，
∴ ．