Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F事直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为15？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：点A（﹣2，0）与点B关于x=1对称，得

B（4，0）．

将A，B，C代入函数解析式，得

解得 ，

抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+4；

（2）解：不存在点F，使四边形ABFC的面积为15，理由如下：

如图1

，

AC的解析式为y=﹣x+4，

设F点坐标为（m，﹣ m2+m+4），G（m，﹣m+4），

FG的长为（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，

S四边形ABFC=S△ABC+S△ABF

= ABxC+ FG（xB﹣xA）

= ×6×4+ ×4（﹣ m2+2m）=15，

化简，得

2m2﹣4m+3=0，

∵△=b2﹣4ac=16﹣4×2×3=﹣8＜0，

方程无解，

∴P点不存在；

（3）解：当x=1时，﹣ x2+x+4= ，即D（1， ）

当x=1时，﹣x+4=3，即E（1，3），

DE= ﹣3= ．

AC的解析式为y=﹣x+4，

设Q点坐标为（m，﹣ m2+m+4），P（m，﹣m+4），

QP的长为|（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）|=|﹣ m2+2m|．

由PQ∥DE，PQ=DE，得

|﹣ m2+2m|= ．

﹣ m2+2m= ，或）﹣ m2+2m=﹣ ，

解得m1=1舍，m2=3，m3=2+ ，m4=2﹣ ．

P点坐标为（3，1）（2+ ，2﹣ ）（2﹣ ，2+ ）．

【解析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得FG的长，根据面积的和差，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．