Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．

（1）依题意补全下图；

（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；

（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OA+AC＝OD，见解析；（3）45°

【解析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，根据矩形的想知道的BE＝AO，∠ABE＝90°，等量代换得到AB＝BE推出△ABC≌△EBD，根据全等三角形的性质得到AC＝DE，等量代换即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到BC＝BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠BHC＝90°，过H作HN⊥OA，HM⊥AB，证明△CNH≌△BHM，可得出HN＝HM，则AH平分∠CAB，可得到结论．

解：（1）如图1所示，

（2）OA+AC＝OD，

如图1，过B作BE⊥x轴于E，

则四边形AOEB是矩形，

∴BE＝AO，∠ABE＝90°，

∵AB＝AO，

∴AB＝BE，

∵BD⊥BC，

∴∠CBD＝90°，

∴∠ABC＝∠DBE，

在△ABC与△BDE中，

，

∴△ABC≌△EBD（ASA），

∴AC＝DE，

∵OE＝AB＝OA，

∴AO+AC＝OD；

（3）如图2，由（1）知：△ABC≌△EBD，

∴BC＝BD，

∵BD⊥BC，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BCD＝45°，

∵BH平分∠CBD，

∴∠BHC＝90°，

∵∠BAO＝90°，

过H作HN⊥OA，HM⊥AB，

∴四边形ANMH是矩形，

∴∠NHM＝90°，

∴∠NHC＝∠MHB，

∴△CNH≌△BHM（AAS），

∴HN＝HM，

∴AH平分∠CAB，

∴∠BAH＝45°．