Question

【题目】（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）

（应用）请应用这个公式完成下列各题：

（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．

（2）计算：20192﹣2020×2018．

（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

Answer 1

【答案】探究：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；应用：（1）3；（2）1；拓展：5050

【解析】

探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；

应用：（1）利用平方差公式得出（2m+n）（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；

（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；

拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．

解：探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），

所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

应用：（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12

∵（2m+n）（2m+n）＝4m2﹣n2

∴2m﹣n＝3

故答案为3．

（2）20192﹣2020×2018

＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）

＝20192﹣（20192﹣1）

＝20192﹣20192+1

＝1

拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12

＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）

＝100+99+98+97+…+4+3+2+1

＝5050