Question

【题目】阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

（1）请你回答：AP的最大值是 ．

（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．

提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．

①请画出旋转后的图形

②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）①作图见解析；②，思路见解析．

【解析】

试题分析：（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可；

（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．

试题解析：（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；

故答案为：6．

（2）①旋转后的图形如图1；

②如图2，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B=AB=BC=4，PA=P1A1，PB=P1B，∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC．

∵当A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，∴A1C=PA+PB+PC，∴A1C长度即为所求．

过A1作A1D⊥CB延长线于D．

∵∠A1BA=60°（由旋转可知），∴∠A1BD=30°．

∵A1B=4，∴A1D=2，BD=，∴CD=4+；

在Rt△A1DC中，A1C===．