Question

【题目】如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴相交于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA= = =4，

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C，

∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，

将点B的坐标代入得：64a=﹣4，

a=﹣ ，

∴y=﹣ （x﹣8）2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ +x﹣4；

（2）

解：直线l与⊙E相切；

理由是：在直线l的解析式y= x+4中，

当y=0时，即 x+4=0，x=﹣ ，

∴D（﹣ ，0），

当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵ ， ，

∴ ，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，

即∠DAE=90°，

∴直线l与⊙E相切；

（3）

解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊥x轴，交直线l于点M，

设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），

则PM= +4﹣（﹣ m2+m﹣4）= ﹣ m+8= + ，

当m=2时，PM取最小值是 ，

此时，P（2，﹣ ），

对于△PQM，

∵PM⊥x轴，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= = ，

∴当抛物线上的动点P（2，﹣ ）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为 ．

【解析】（1）利用勾股定理求OA的长，由垂径定理得：OB=OA=4，写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先求直线l与两坐标轴的交点坐标，再证明△AOE∽△DOA，可得结论：直线l与⊙E相切；（3）如图2，作辅助线，构建直角△PQM，根据解析式设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），则PM= + ，当m=2时，PM取最小值是 ，计算点P（2，﹣ ），说明△PQM的三个内角固定不变，即△PQM的三边的比例关系不变，当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，根据三角函数计算PQ的最小值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．