Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2）在对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c的图象上，其顶点为B．

（1）求顶点B的坐标；

（2）点C在对称轴上，若△ABC的面积为2，求点C的坐标；

（3）将抛物线向左或右平移，使得新抛物线的顶点落在y轴上，问原抛物线上是否存在点M，平移后的对应点为N，满足OM=ON？如果存在，求出点M，N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）(2,-3)；（2）（2，1）或（2，﹣7）；（3）见解析.

【解析】分析：根据抛物线的对称轴为直线x=2，即可求出，把点代入抛物线的解析式即可求出，把抛物线的解析式通过配方变成顶点式，即可求出点的坐标.

设则点A到对称轴的距离是1，求出的值即可.

抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标在y轴上，则抛物线向左平移了2个单位长度．平移后抛物线的解析式为： MN=2．点M与点N关于y轴对称，设则 分别代入解析式可得解得

即可求出点的坐标.

详解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=2，

∴，

解得：

∴

把代入，得

解得

∴该抛物线解析式为：

顶点的坐标为：

(2)设则

∵点A到对称轴的距离是1，

∴ 即a=1或

∴点C的坐标是或；

（3）∵抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标在y轴上，

∴抛物线向左平移了2个单位长度．

∴平移后抛物线的解析式为： MN=2．

∵

∴点O在线段MN的垂直平分线上，

又MN∥x轴，

∴点M与点N关于y轴对称，

设则 分别代入解析式可得

解得

∴点M的坐标为点N的坐标为.即原抛物线存在点M，平移后的对应点为N，满足OM=ON，此时点M的坐标为点N的坐标为.