Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF=3，DE=2 ①求 值；
②求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD

∵OA=OD，∴∠1=∠2

∵∠1=∠3，∴∠2=∠3

∴OD∥AF

∵DF⊥AF，∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线

（2）证明：①解：连接BD

∵直径AB

∴∠ADB=90°

∵圆O与BE相切

∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°

∴∠DAB=∠DBE

∴∠DAB=∠FAD

∵∠AFD=∠BDE=90°

∴△BDE∽△AFD

∴

②连接OC，交AD于G

由①，设BE=2x，则AD=3x

∵△BDE∽△ABE∴

∴

解得：x1=2， （不合题意，舍去）

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8

∴AB= ，∠1=30°

∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60°

∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG

∴△ACG≌△DOG，∴S△AGC=S△DGO

∴S阴影=S扇形COD=

【解析】（1）作辅助线，连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得 ；②连接OC，交AD于G．由①，设BE=2x，则AD=3x．利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得 ，据此列出关于x的方程，解方程求得x=2，继而可以求出AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8；然后由勾股定理知AB=4 ，在直角三角形ABE中求得∠1=30°；再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG，所以△ACG≌△DOG；最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．