Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为 ．

Answer 1

【答案】1或2
【解析】解：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB， ∵DE⊥BC，
∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，
∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BCtan∠B=3× = ，∠BAC=60°，
如图①若∠AFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠EFD=30°，
∴CF=ACtan∠FAC= × =1，
∴BD=DF= =1；
如图②若∠EAF=90°，
则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，
∴CF=ACtan∠FAC= × =1，
∴BD=DF= =2，
∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．

首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案．