Question

【题目】模型与应用.

（模型）

（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.

（应用）

（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．

如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为 ．

（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．

在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）900° ，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°

【解析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1＋∠MEF＝180°，∠2＋∠NEF＝180°，即可得∠1＋∠2＋∠MEN＝360° ；（2）①分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；②由上面的解题方法可得答案；（3）过点O作SR∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得SR∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠AM1O＝∠M1OR，∠C MnO＝∠MnOR，所以∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR，即可得∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OMn＝m°，根据角平分线的定义可得∠AM1M2＝2∠A M1O，∠CMnMn-1＝2∠CMnO，由此可得∠AM1M2＋∠CMnMn-1＝2∠AM1O＋2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°，又因∠A M1E＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CMnMn-1＝180°(n－1)，由此可得

∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)°.

【模型】

（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠2＋∠MEN＝360°.

证明：过点E作EF∥CD，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB，

∴∠1＋∠MEF＝180°，

同理∠2＋∠NEF＝180°

∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°

【应用】

（2）900° ， 180°(n－1)

分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；

由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)；

（3）过点O作SR∥AB，

∵AB∥CD，

∴SR∥CD，

∴∠AM1O＝∠M1OR

同理∠C MnO＝∠MnOR

∴∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR，

∴∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OMn＝m°，

∵M1O平分∠AM1M2，

∴∠AM1M2＝2∠A M1O，

同理∠CMnMn-1＝2∠CMnO，

∴∠AM1M2＋∠CMnMn-1＝2∠AM1O＋2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°，

又∵∠A M1E＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CMnMn-1＝180°(n－1)，

∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)°