Question

【题目】如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF；

③AD=PD；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正确的结论是（　　）

A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】如图，

∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，

∴PA=PC,∠C=90°，

∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，

∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，

∴四边形PECF是矩形，

∴PC=EF，

∴PA=EF，故②正确，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，

∵∠PFC=∠C=90°，

∴PF∥BC，

∴∠DPF=45°，

∵∠DFP=90°，

∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，

在△PAB和△PCB中，

，

∴△PAB≌△PCB，

∴∠BAP=∠BCP，

在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，

∴∠PFE=∠BAP.故④正确，

∵点P是正方形对角线BD上任意一点，

∴AD不一定等于PD，

只有∠BAP=22.5°时，AD=PD，故③错误，

故选C