Question

【题目】已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E． 求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）解：当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则E（3，0）；

y=﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4），

∴S△ODE= ×3×4=6；

连接BE交直线x=1于点P，如图，则PA=PE，

∴PA+PB=PE+PB=BE，

此时PA+PB的值最小，

易得直线BE的解析式为 y=﹣x+3．，

当x=1时，y=﹣x+3=3，

∴P（1，2）．

【解析】（1）把A点和B点坐标分别代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）通过解方程﹣x2+2x+3=0得到E点坐标，再把一般式配成顶点式得到D点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ODE的面积；连接BE交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P点坐标．
【考点精析】掌握抛物线与坐标轴的交点是解答本题的根本，需要知道一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．