Question

【题目】综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣+bx+8与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE=　 　；

（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，8）（2）1：2（3）存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，符合条件的G点的坐标为G（， ）或G（，﹣），

【解析】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令求出轴交点坐标；
（2）先确定出直线 解析式为设出点E的坐标，表示出点而点D在直线AC上，列出方程

求出，从而得出结论；
（3）先求出点的坐标，再分两种情况计算Ⅰ、当时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、当时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．

试题解析：(1)∵点A(6,0)在抛物线上，

∴

∴

令x=0，y=8，

∴C(0,8)

(2)设

∴P(m,0)，

∵点D为EP中点，

∴DP=DE,

∵A(6,0),C(0,8)，

∴直线AC解析式为

∵点D在直线AC上，

∴

∴m=6(舍)或m=4，

∴P(4,0)

∴AP=2，OP=4，

故答案为1:2

(3)存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，

连接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x轴，

∵EC∥x轴，

∴EP=CO=8，

把y=8代入

∴

∴x=0(舍)，或x=2，

∴P(2,0)，

∴AP=AOPO=4，

Ⅰ、如图1，

当 时，

∴

∵

∴∠MEG=∠EAP，

∵

∴△EMG∽△APE，

∴

设点

∴

MG=PN=PO+ON=2+m，

∴ ∴m=2(舍)或

∴

Ⅱ、如图2，

当时，

∴

∵

∴∠NAG=∠AEP，

∵

∴△GNA∽△APE，

∴

设点

∴AN=AO+ON=6+n，

∵

∴n=6(舍),或

∴

符合条件的G点的坐标为或