Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠B= 60°.

（1）如图①.若点E、F分别在边AB、AD上，且BE=AF，求证:△CEF是等边三角形.

（2）小明发现，当点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF=60°时，△CEF也是等边三角形，

并通过画图验证了猜想;小丽通过探索，认为应该以CE= EF为突破口，构造两个全等三角形:小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM =BE，并连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形.请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）易证△BEC≌△AFC，即可得证；（2）先证得△BEM是等边三角形，再证△MEC≌AFE，即可EC=EF，再由∠CEF=60°即可证明.

（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB= BC=CD=AD.

因为∠B=60°，所以△ABC，△ADC都是等边三角形.

所以BC=AC，∠B=∠CAF=∠ACB=60°，

又因为BE=AF，所以.△BEC≌△AFC(SAS)，所以CE=CF，∠ECF=∠BCA=60°

所以△ECF是等边三角形，

(2) 因为BE=BM，∠B= 60°

所以△BEM是等边三角形.

所以∠EMB=∠BEM=60°，∠EMC=∠AEM=120°

因为AB= BC，∠EAF120°，所以.AE=CM，∠EAF=∠EM.

因为∠FEC=60°，所以∠AEF+∠CEM=60°.

又因为∠CEM+∠ECM=60°所以∠AEF=∠ECM.

所以△MEC≌AFE(ASA)，所以EC=EF.

又因为∠FEC=60°，所以△EFC是等边三角形.