Question

【题目】已知：如下图， AB∥CD ， 点E ， F分别为AB ， CD上一点.
（1）在AB ， CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME ， MF ， 试探究∠AEM ， ∠EMF ， ∠MFC之间有怎样的数量关系. 请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明.

（2）如下图，在AB ， CD之间有两点M ， N ， 连接ME ， MN ， NF ， 请选择一个图形写出∠AEM ， ∠EMN ， ∠MNF ， ∠NFC 存在的数量关系（不需证明）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

证明：过点M作MP∥AB.

∵AB∥CD，

∴MP∥CD.

∴∠4＝∠3.

∵MP∥AB，

∴∠1＝∠2.

∵∠EMF＝∠2＋∠3，

∴∠EMF＝∠1＋∠4.

∴∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°

证明：过点M作MQ∥AB.

∵AB∥CD，

∴MQ∥CD.

∴∠CFM＋∠1＝180°.

∵MQ∥AB，

∴∠AEM＋∠2＝180°.

∴∠CFM＋∠1+∠AEM＋∠2＝360°

∵∠EMF＝∠1＋∠2

∴∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°.

（2）

解：第一图数量关系：∠EMN＋∠MNF－∠AEM－∠NFC＝180°.

第二图数量关系：∠EMN－∠MNF＋∠AEM＋∠NFC＝180°.

【解析】(1)分点M在EF的左侧和右侧两种情况，当点M在EF的左侧时，如图，∠EMF＝∠AEM＋∠MFC，过点M作MP∥AB，可得AB∥CD∥MP， 根据平行线的性质可得∠4＝∠3， ∠1＝∠2，即可证得∠EMF＝∠AEM＋∠MFC；当点M在EF的右侧时，类比左侧的方法即可证∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°；
（2）类比（1）的方法作平行线，利用平行线的性质即可解决.
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．