【题目】一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作…若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD的长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？
如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．

（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．

参考答案：

【答案】
（1）

解：判断与操作：

矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如1所示：


（2）

解：探究与计算：

第一次操作后剩下的矩形的两边长度为a、（20﹣a），

第二次操作后剩下的矩形的两边长度为（20﹣2a）、a或（2a﹣20），（20﹣a），

∵矩形ABCD是3阶奇异矩形，

∴有①20﹣2a=2a，②a=2（20﹣2a），③20﹣a=2（2a﹣20），④2a﹣20=2（20﹣a），

解得：a1=5，a2=8，a3=12，a4=15．

裁剪线的示意图如2①、2②、2③、2④所示：


【解析】1、根据已知操作步骤画出即可；2、找出第一、二次操作后剩下矩形的两边长度，令其一边为另一边的二倍，解关于a的一元一次方程即可得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．

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