Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点F是对角线BD上的一点，EF∥AB交AD于点E，FG∥BC交DC于点G，四边形EFGP是平行四边形，给出如下结论：
①四边形EFGP是菱形；
②△PED为等腰三角形；
③若∠ABD=90°，则△EFP≌△GPD；
④若四边形FPDG也是平行四边形，则BC∥AD且∠CDA=60°．
其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵EF∥AB，

∴ = ，

∵FG∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

∵AB=BC，

∴EF=FG，

∵四边形EFGP是平行四边形，

∴四边形EFGP是菱形，故①正确；

∵BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，

∵FG∥BC，

∴∠DBC=∠DFG，

∴∠DFG=∠BDC，

∴FG=DG，

∵PG=FG=PE，

∴PG=DG，

∵无法证得△PDG是等边三角形，

∴PD不一定等于PE，

∴△PED不一定是等腰三角形，故②错误；

∵∠ABD=90°，PG∥EF，

∴PG⊥BD，

∵FG=DG，

∴∠FGP=∠DGP．

∵四边形EFGP是平行四边形，

∴∠PEF=∠FGP．

∴∠DGP=∠PEF．

在△EFP和△GPD中

∴△EFP≌△GPD（SAS）．故③正确；

∵四边形FPDG也是平行四边形，

∴FG∥PD，

∵FG∥EP，

∴E、P、D在一条直线上，

∵FG∥BC∥PE，

∴BC∥AD，

∵四边形FPDG也是平行四边形，

∵FG=PD，

∵FG=DG=PG，

∴PG=PD=DG，

∴△PGD是等边三角形，

∴∠CDA=60°．

∴四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．故④正确．

所以答案是①③④．

【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的判定方法(任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形)．