Question

【题目】如图，抛物线C1：y1=tx2﹣1（t＞0）和抛物线C2：y2=﹣4（x﹣h）2+1（h≥1）．

（1）两抛物线的顶点A、B的坐标分别为和；
（2）设抛物线C2的对称轴与抛物线C1交于点N，则t为何值时，A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）设抛物线C1与x轴的左交点为点E，抛物线C2与x轴的右边交点为点F，试问，在第（2）问的前提下，四边形AEBF能否为矩形？若能，求出h值；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，1）；（h，1）
（2）

解：∵AM∥BN，

∴当AM=BN时，A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

∵当x=h时，y1=1，y2=tx2﹣1=th2﹣1，

∴PN=|1﹣（th2﹣1）\=|2﹣th2|．

①当点B在点A的下方时，4h2﹣2=th2﹣2，∵h2≠0，∴t=4；

②当点B在点A的上方时，4h2﹣2=2﹣th2，整理，得t+4= ，

∵t＞0时，t+4＞4；当h≥1时， ≤4，

∴这样的t值不存在，

答：当点B在点A的下方时，t=4，当点B在点A的上方时不存在

（3）

解：由（2）可知，二次项系数互为相反数，

∴两抛物线的形状相同，故它们成中心对称，

∵点A和点B的纵坐标的绝对值相同，

∴两抛物线得对称中心落在x轴上．

∵四边形AEBF是平行四边形，

∴当∠EAF=90°时，四边形AFBE是矩形，

∵抛物线C1与x轴左交点坐标是（﹣ ，0），

∴OE= ．

∵抛物线C2与x轴右交点坐标是（h+ ，0）且h≥1，

∴OF=h+ ．

∵∠FAO+∠EAO=90°，∠EAO+AEO=90°，

∴∠FAO=∠AEO，

又∵∠FOA=∠EOA=90°，

∴△AEO∽△FAO， =

∴OA2=OEOF，即 （h+ ）=1，解得h= ＞1，

∴四边形AEBF能为矩形，且h的值为

【解析】解：（1）抛物线C1：y1=tx2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），
抛物线C2：y2=﹣4（x﹣h）2+1的顶点坐标是（h，1），
所以答案是：（0，﹣1），（h，1）；