Question

【题目】如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）．

（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．

Answer 1

【答案】（1）AE+CF=EF，证明见解析；（2），理由见解析.

【解析】

（1）由题干中截长补短的提示，再结合第（1）问的证明结论，在第二问可以用截长补短的方法来构造全等，从而达到证明结果．

（2）同理作辅助线，同理进行即可，直接写出猜想，并证明．

（1）图2猜想：AE+CF=EF，

证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，

∵∠DAB=∠BCD=90°，

∴∠DAB=∠DCA'=90°，

又∵AD=CD，AE=A'C，

∴△DAE≌△DCA'（SAS），

∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，

∵∠ADC=120°，

∴∠EDA'=120°，

∵∠EDF=60°，

∴∠EDF=∠A'DF=60°，

又DF=DF，

∴△EDF≌△A'DF（SAS），

则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；

（2）如图3，AE+CF=EF，

证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，

∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180°

∴∠DAB=∠DCA'，

又∵AD=CD，AE=A'C，

∴△DAE≌△DCA'（SAS），

∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，

∵∠ADC=2α，

∴∠EDA'=2α，

∵∠EDF=α，

∴∠EDF=∠A'DF=α

又DF=DF，

∴△EDF≌△A'DF（SAS），

则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．