Question

【题目】给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

（1）如图1，四边形中，点，，，分别为边、、、的中点，则中点四边形形状是_______________.

（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边、、、的中点，求证：中点四边形是正方形.

Answer 1

【答案】(1) 平行四边形;(2)见解析

【解析】

（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．

（2）首先证明四边形EFGH是菱形．再证明∠EHG=90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．

（1）证明：如图1中，连接BD．

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，

∴EH∥BD，EH=BD，

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，

∴FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=GF，

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

故答案为平行四边形；

（2）证明：如图2中，连接，.

∵，∴即，

在和中，

，

∴，

∴

∵点，，分别为边，，的中点，

∴，，

由（1）可知，四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形.

如图设与交于点.与交于点，与交于点.

∵，

∴，

∵，

∴

∵，，

∴，

∵四边形是菱形，

∴四边形是正方形.