Question

【题目】如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2 ， 当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），

∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，

∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，

∴x= ，

∴D的坐标为（ ，﹣m2+2m+3），

∴DM=m﹣ = ，

∴S= DMBE+ DMOE

= DM（BE+OE）

= DMOB

= × ×3

=

= （m﹣ ）2+

∵0＜m＜3，

∴当m= 时，

S有最大值，最大值为 ；

（3）

解：①由（2）可知：M′的坐标为（ ， ）；

②

过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2=BF，

此时只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴点F在以BM′为直径的圆上，

设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧 上，

∴当F与M′重合时，

BF可取得最大值，

此时BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），

∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，

过点M′作M′G⊥AB于点G，

设BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，

∴x= ，

cos∠M′BG= = ，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为 DMOB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．