Question

【题目】同学们都知道，|2-（-1）|表示2与-1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数一1对应的点之间的距离，试探索：

(1)|2-（-1）|=______；如果|x-1|=2，则x=______．

(2)求|x-2|+|x-4|的最小值，并求此时x的取值范围；

(3)由以上探素已知（|x-2|+|x+4|）（|y-1|+|y-6|）=10，求x+y的最大值与最小值；

(4)由以上探索及猜想，计算|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|的最小值．

Answer 1

【答案】(1)3，3或-1；(2)当-4≤x≤2时，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值为6；(3)x+y的最大值是5，最小值是-3；(4)当x=1009.5时，式子取得最小值，为509076．

【解析】

（1）根据绝对值的意义直接计算即可；
（2）把|x-2|+|x+4|理解为：在数轴上表示x到-4和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；
（3）先确定x、y的取值范围，再分类讨论．
（4）观察已知条件可以发现，|x-a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．

(1)|2-（-1）|=|2+1|=3，

|x-1|=2，

x-1=2或x-1=-2，

x=3或-1，

故答案为：3，3或-1；

(2)∵|x-2|+|x-4|理解为：在数轴上表示x到-4与2的距离之和，

∴当x在-4与2之间的线段上（即-4≤x≤2）时，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值为2-（-4）=6，此时x的取值范围为：-4≤x≤2．

(3)因为x-2=0，x+4=0时，x=2或-4，y-1=0，y-6=0时，y=1或6．

当x＜-4时，|x-2|+|x+4|=2-x-x-4=-2x-2；当-4＜x＜2时，|x-2|+|x+4|=2-x+x+4=6；当x＞2时，|x-2|+|x+4|=x-2+x+4=2x+2；

当y＜1时，|y-1|+|y-6|=1-y+6-y=-2y+7；当1＜y＜6时，|y-1|+|y-6|=y-1+6-y=5；当y＞6时，|y-1|+|y-6|=y-1+y-6=2y-7；

当x＜-4，y＜1时，（-2x-2）（-2y+7）=10，

所以-2x+1-2y+1=8，即x+y=-3；-2x+1+3=8，即x=-4；-2x+1+2y-1=8，即x-y=-4；5-2y+1=8，即y=-1；5+3=8；5+2y-1=8，即y=2；2x-1-2y+1=8，即x-y=4；2x-1+3=8，即x=3；2x-1+2y-1=8，即x+y=5．

所以x+y的最大值是5，最小值是-3．

(4)由已知条件可知，|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到2018的距离时，式子取得最小值．

∴当x==1009.5时，式子取得最小值，

此时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|，

=|1009.5-1|+|1009.5-2|+|1009.5-3|+…+|1009.5-2016|+|1009.5-2017|+|1009.5-2018|，

=1008.5+1007.5+…+2.5+1.5，

=0.5×1008+（1+2+3…+1008），

=504+=504+508536，

=509076．