Question

【题目】某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．

（实验操作）取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
ax2+bx+3	…	0	3	4			…

（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．（观察猜想）实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…

（2）请你也提出一个合理的猜想：　 　（验证猜想）我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．

（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．

Answer 1

【答案】（1）3，0；（2）当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；（3）甲的说法不正确，反例见解析，乙的说法正确，见解析

【解析】

（1）通过解方程组求得a、b的值．

（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；

（3）举出反例即可判断．

解：（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；

当x＝1时，a+b+3＝4．

可得方程组．

解得：．

当x＝2时，ax2+bx+3＝3；

当x＝3时，ax2+bx+3＝0．

故答案是：3；0；

（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；

故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；

（3）甲的说法不正确．

举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．

乙的说法正确．

证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∵（x﹣1）2≥0．

∴﹣（x﹣1）2+4≤4．

∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．