Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是C的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F.

(1)求证:点O在AB的垂直平分线上;

(2)若∠CAD＝20°，求∠BOF的度数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）30°.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；

（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故选即可得到∠BOF的度数．

（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵AD是BC的垂直平分线，

∴BO=CO，

∵OE是AC的垂直平分线，

∴AO=CO，

∴BO=AO，

∴点O在AB的垂直平分线上；

（2）解：∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC，

∵∠CAD=20°，

∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，

∵OE⊥AC，

∴∠EFA=90°-40°=50°，

∵AO=CO，

∴∠OBA=∠BAD=20°，

∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=50°-20°=30°．