Question

【题目】如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（ ）

A. 30°B. 45°C. 60°D. 15°

Answer 1

【答案】A

【解析】

设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=2可求出α的度数．

如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．

连接OC，OD，PE，PF．

∵点P与点C关于OA对称，

∴OA垂直平分PC，

∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，

同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．

∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，

∴∠COD=2α．

又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，

∴OC=OD=CD=2，

∴△COD是等边三角形，

∴2α=60°，

∴α=30°．

故选A．