Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，BC、AD是⊙O的切线，切点分别为B、A，过点O作EC⊥OD，EC交BC于点C，交AD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，

∵BC、AD是⊙O的切线，

∴∠CBO=∠OAE=90°，

在△BOC和△AOE中， ，

∴△BOC≌△AOE，

∴OC=OE，

又∵EC⊥OD，

∴DE=DC，

∴∠ODC=∠ODE，

∴OH=OA，

∴CD是⊙O的切线

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，

∴∠E=∠DOA，

又∵∠OAE=∠ODA=90°，

∴△AOE∽△ADO，

∴ = ，

∴OA2=EAAD=1×3=3，

∵OA＞0，∴OA= ，

∴tanE= = ，

∴∠DOA=∠E=60°，

∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，

∴∠DOH=∠DOA=60°，

∴S阴影部分= ×3× + ×3× ﹣ =3 ﹣π．

【解析】（1）首先作OH⊥CD，垂足为H，由BC、AD是⊙O的切线，易证得△BOC≌△AOE（ASA），继而可得OD是CE的垂直平分线，则可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，则可得OH=OA，证得CD是⊙O的切线；（2）首先证得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA的长，然后利用三角函数的性质，求得∠DOA的度数，继而求得答案．
【考点精析】通过灵活运用垂径定理和扇形面积计算公式，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）即可以解答此题．