Question

【题目】如图，已知A（2，0），B（1，m2﹣4m+5）．

（1）直接判断△ABO是什么图形；
（2）如果S△ABO有最小值，求m的值；
（3）抛物线y=﹣（x﹣2）（x﹣n）经过点B且与y轴交于点C，与x轴交于两点A，D．
①用含m的式子表示点C和点D坐标；
②点P是抛物线上x轴上方任一点，PQ∥BD交x轴于点Q，将△ABO向左平移到△A′B′O′，点A，B，O的对应点分别是A′，B′，O′，当点A'与点D重合时，点B'在线段PQ上，如果点P恰好是抛物线顶点，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（2，0），B（1，m2﹣4m+5），

∴点B在线段OA的垂直平分线上，

∴OB=AB，

∴△ABO 是等腰三角形

（2）

解：∵S△ABO= ×2×（m2﹣4m+5）=m2﹣4m+5=（m﹣2）2+1，

∴当m=2时，S△ABO 有最小值

（3）

解：①把B（1，m2﹣4m+5）代入

y=﹣（x﹣2）（x﹣n）得m2﹣4m+5=﹣（1﹣2）（1﹣n），

∴n=﹣（m﹣2）2，

∴y=﹣x2+（﹣m2+4m﹣2）x+2（m﹣2）2，

令x=0，则y=2（m﹣2）2，

∴C（0，2（m﹣2）2），

∴D（﹣（m﹣2）2，0），

②∵B（1，m2﹣4m+5）、D（﹣（m﹣2）2，0），

∴直线DB的解析式为y=x+（m﹣2）2，

∴B'（﹣（m﹣2）2﹣1，（m﹣2）2+1 ），

∴直线PQ的解析式为y=x+2（m﹣2）2+2，

∵顶点P（ ，2（m﹣2）2+ ），

∵P点在直线PQ上，

∴2（m﹣2）2+ ）= +2（m﹣2）2+2，

∵n=﹣（m﹣2）2，

∴n2+2n﹣8=0

∵n=﹣（m﹣2）2，

∴n2+2n﹣8=0，

解得n1=2，n2=﹣4，

∴﹣（m﹣2）2=2（舍去）或（m﹣2）2=4，

∴m1=4，m2=0

【解析】（1）由B点横坐标可知点B在线段OA的垂直平分线上，可知OB=AB，可得出答案；（2）用m可表示出△ABO的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时的m的值；（3）①把B点坐标代入抛物线解析式可用m表示出n的值，则可求得C、D的坐标；②由B、D坐标可表示出直线BD解析式，由平移可表示出B′的坐标，从而可用m表示出直线PQ的解析式，再由m表示出P点坐标，代入直线PQ解析式，则可得到关于m的方程，可求得m的值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．