Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，则CP的最小值为 ．

Answer 1

【答案】 ﹣1
【解析】解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA=45°．
∴∠APB=135°．
∴点P在以AB为弦的⊙O上．
∵∠APB=135°，
∴∠AOB=90°．
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∴∠CAO=90°．
∴四边形ACBO为矩形．
∵OA=OB，
∴四边形AOBC为正方形．
∴OA=OB=1．
∴OP=1，OC= ．
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，
∴PC的最小值=OC﹣OP= ﹣1．
所以答案是： ﹣1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．