Question

【题目】已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．

（1）如图1，若∠1=60°，求∠2=__________；∠3=__________．

（2）若点P是平面内的一个动点，连结PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．

①当点P在图2的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD． 理由如下：

如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（__________）

∵AB∥CD（已知） MN∥AB（作图）

∴MN∥CD（__________）

∴∠MPF=∠PFD （__________）

∴__________+__________=∠PEB+∠PFD（等式的性质）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD．请补充完整说理过程（填写理由或数学式）

②当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则∠PFD=__________；

③当点P在图4的位置时，写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系并证明（每一步必须注明理由）．

Answer 1

【答案】（1）∠2=60°；∠3=60°；（2）①两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠FPM；②124°；③∠EPF+∠PFD=∠PEB；证明见解析

【解析】

（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3；
（2）①过点P作MN//AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN//CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB十∠PFD；
②同①；
③利用平行线的性质和三角形的外角性质得到三个角之间的关系．

解：（1）应填∠2=60°，∠3=60°．理由是：

∵∠2=∠1，∠1=60°，
∴∠2=60°，
∵AB//CD
∴∠3=∠1=60°；

（2）①当点P在图（2）的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD． 理由如下：

如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图）

∴MN∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD （两直线平行，内错角相等）

∴　∠EPM+∠FPM　=∠PEB+∠PFD（等式的性质）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD

故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MP

②当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则∠PFD=124°．理由为：

如图3所示，过点P作PM∥AB，
则∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，

∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°
∴∠PFD=360°-80°-156°=124°；
故答案为：124°

③当点P在图4的位置时，∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系是：　

∠EPF+∠PFD=∠PEB　

证明如下：

如图4，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB，

∴MN∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD（两直线平行，内错角相等）

∴∠EPM-∠MPF=∠PEB-∠PFD（等式的性质）

即∠EPF+∠PFD=∠PEB