Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0．

（1）求a、b的值；

（2）如图1，点G在y轴上，三角形COG的面积是三角形ABC的面积的，求出点G的坐标；

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一个动点，连接OP、AC、DB，OE平分∠AOP，OF⊥CE，若∠OPD+k∠DOF＝k（∠FOP+∠AOE），现将四边形ABDC向下平移k个单位得到四边形A1B1D1C1，已知AM+BN =k，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）G（0，6）或（0，﹣6）；（3）S阴＝.

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题；

（2）过点C作CT⊥AB于T．根据面积关系求出OG的长即可解决问题；

（3）设∠AOE=x，则∠AOP=2∠AOE=2x，∠POB=180°-2x，由CD∥AB，推出∠OPD=∠POB=180°-2x，由∠DOF=∠AOE，推出∠OPD+k∠DOF=k∠FOP+k∠AOE，推出∠OPD=k∠FOP，可得180°-2x=k（90°-x），推出k=2，即可解决问题.

（1）∵|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0，

又∵|2a﹣b+8|≥0，（a+b﹣2）2≥0，

∴，

解得，

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）如图1中，过点C作CT⊥AB于T．

∵C（﹣1，2），

∴CT＝2，

∵S△ABC＝×6×2＝6，

∴S△OCG＝×1×OG＝3，

∴OG＝6，

∴G（0，6）或（0，﹣6）．

（3）如图2中，

设∠AOE＝x，

∵OE平分∠AOP，

∴∠AOP＝2∠AOE＝2x，

∵∠AOB＝180°，

∴∠POB＝180°﹣2x，

∵CD⊥y轴，AB⊥y轴，

∴∠CDO＝∠DOB＝90°，

∴CD∥AB，

∴∠OPD＝∠POB＝180°﹣2x，

∵OF⊥OE，

∴∠FOP＝90°﹣x，

∵∠AOD＝90°，

∴∠AOE+∠EOD＝∠DOF+∠EOD＝90°，

∴∠DOF＝∠AOE，

∴∠OPD+k∠DOF＝k∠FOP+k∠AOE，

∴∠OPD＝k∠FOP，

∴180°﹣2x＝k（90°﹣x），

∴k＝2，

∴，

∴AM+BN＝，

∴S阴＝S四边形MNB1A1=．