Question

【题目】问题提出：
（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，即∠NMC=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：如图1，

在边AB上截取AE=MC，连接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=45°，

∴∠AEM=135°，

∵N是∠DCP的平分线上一点，

∴∠NCP=45°，

∴∠MCN=135°，

在△AEM与△MCN中，

，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（2）解：结论AM=MN还成立，

证明：如图2，在边AB上截取AE=MC，连接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC，

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE，BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=60°，

∴∠AEM=120°，

∵N是∠ACP的平分线上一点，

∴∠ACN=60°，

∴∠MCN=120°，

在△AEM与△MCN中，

，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（3）
【解析】解决问题：（3）解：∵当AM=MN时，△AEM≌△MCN， 此时∠NMC=∠MAE，
又∵∠AMN=180°﹣∠NMC﹣∠AMB，∠MAE=180°﹣∠BAM﹣∠AMB，
∴∠AMN=∠B= ，
∴将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，则
当∠AMN= 时，结论AM=MN仍然成立．
所以答案是：
【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)的相关知识才是答题的关键．