Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）若AB=4，求CD的长．
（2）判断△FCD的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ACB和△CDE中，∠B=∠DEC=90°，BC=DE，

∠ACB=∠CDE，

在△ACB和△CDE中，

，

∴△ACB≌△CDE，

∴AC=CD，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，

∴AC=2AB=8，

∴CD=8

（2）解：△FCD是等腰三角形，

理由：∵DE∥AB，∠B=90°，

∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°，

∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACB=30°，

∴∠CDE=∠DCF，

∴DF=CF，

∴△FCD是等腰三角形

【解析】（1）证明△ACB≌△CDE，得到AC=CD，根据直角三角形的性质求出AC，求出CD；（2）根据等腰三角形的判定定理证明．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的判定的相关知识点，需要掌握三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形才能正确解答此题．