Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．

（1）求证：AD⊥CD；

（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．)

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）11.3

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；

（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．

（1）连接OC．

∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD．

∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC．

∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；

（2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．