Question

【题目】（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．

（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）

【解析】

（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；

（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；

（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.

证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l

∴∠ACB＝∠ADC

∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE

∴∠CAD＝∠BCE，

∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC

∴△ACD≌△CBE，

∴AD＝CE，CD＝BE，

（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，

由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°

∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，

∵M（1，3）

∴MF＝1，OF＝3

∴MG＝3，NG＝1

∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，

∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，

∴点N的坐标为（4，2），

（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，

对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3

∴P（0，3），

∴OP＝3

由y＝0得x＝1，

∴Q（1，0），OQ＝1，

∵∠QPR＝45°

∴∠PSQ＝45°＝∠QPS

∴PQ＝SQ

∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP

∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1

∴S（4，1），

设直线PR为y＝kx+b，则 ，解得

∴直线PR为y＝﹣x+3

由y＝0得，x＝6

∴R（6，0）．