Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，OC⊥OA，并交AB于点P，且CP=CB．
（1）判断CB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3，OP=1，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∵CP=CB

∴∠CPB=∠CBP

在Rt△AOP中

∠A+∠APO=90°

∴∠OBA+∠CBP=90° 即：∠OBC=90°

∴OB⊥CB

又∵OB是半径

∴CB与⊙O相切

（2）解：设BC=CP=x

在Rt△OBC中

OC2=BC2+OB2

即：（x+1）2=x2+32

解之得：x=4，即：CP=4

在Rt△OBC中

AP= = =

作CH⊥AB于H

∵∠AOP=∠CHP=90°，∠APO=∠CPH

∴△OAP∽△HCP

∴ = ，即 = ，

∴HP=

∵CB=CP，CH⊥PB

∴PB=2PH=

∴AB=AP+PB= ．

【解析】（1）根据等边对等角得∠CPB=∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC=90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；（2）设BC=CP=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得出CP=4，再在Rt△OBC中，由勾股定理得出AP，作CH⊥AB，可证明△OAP∽△HCP，得出HP，由垂径定理得出PB=2PH，即可得出AB=AP+PB的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和垂径定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．