Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿AE折叠点．D的对应点为D′．
（1）求点D′刚好落在对角线AC上时，D′C的长；
（2）求点D′刚好落在此对称轴上时，线段DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，在Rt△ABC中，

∵∴AD′=AD=5，

∵AC= = = ，

∴CD′=AC﹣AD′= ﹣5

（2）解：①当D′落在对称轴GH上，

∵GH是矩形对称轴，

∴AC= AD，

由翻折的性质得：AD′=AD，∠DAE= ∠DAD′，

∴GA= AD′，

∴在Rt△AGD′中，∠GAD′=60°，

∴∠DAE= ∠DAD′=30°，

在Rt△ADE中，

∵tan∠DAE= ，即：tan30°= ，

∴DE= ，

②当D′落在对称轴MN上，又分两种情况，

第一种：点E在DC上，如图3，

∵MN是矩形对称轴，

∴DM=AN=4，

由翻折得：AD′=AD，

在Rt△AND′中，

D′N= =3，

∴D′M=MN﹣D′N=5﹣3=2，

设DE=ED′=x，

在Rt△EAD′中，

ED′2=EM2+MD′2，

即：x2=（4﹣x）2+22，

解之得：x= ，即DE= ，

第二种：点E在DC延长线上，如图4，方法同上，DE=10．

综上所述，点D′落在矩形对称轴上时，DE的长为 或 或10．

【解析】（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可得到结论；（2）①当D′落在对称轴GH上，由翻折的性质得到AD′=AD，∠DAE= ∠DAD′，求得GA= AD′，根据三角形的内角和得到∠DAE= ∠DAD′=30°，根据三角函数的定即可得到结论；②当D′落在对称轴MN上，又分两种情况，第一种：点E在DC上，如图3，得到DM=AN=4，由翻折的性质得到AD′=AD，在Rt△AND′中，由勾股定理得到D′N= =3，得到D′M=MN﹣D′N=5﹣3=2，设DE=ED′=x，在Rt△EAD′中，根据勾股定理得到DE= ，第二种：点E在DC延长线上，同理得到结论．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．